Depois de extensa pesquisa, o único procedimento que funcionou para mim permitindo o acesso ao site do Banco do Brasil, utilizando as distros acima, foi o seguinte a ser digitado no terminal:

sudo sudo mkdir -p /etc/.java/.systemPrefs && sudo chmod 755 -R /etc/.java && add-apt-repository ppa:webupd8team/java && sudo apt-get update && apt-get install oracle-java7-installer && sudo ln -s /usr/lib/jvm/java-7-oracle/jre/lib/amd64/libnpjp2.so /usr/lib/firefox-addons/plugins

São vários comandos separados por &&. Deixei-os juntos para facilitar copiar e colar.

A série de comandos instala o java-7-oracle a partir de um ppa e o configura no Firefox por meio de um atalho (comando após o último &&). Logo, só funcionará no Firefox. Para outros navegadores, deve-se igualmente criar o atalho de configuração para o navegador enxergar o recém java instalado.

Como curiosidade, o comando abaixo permite selecionar a versão do Java em uso. Mas não recomendo alterar se o procedimento acima funcionar.

sudo update-alternatives --config java