Problemas ao calcular equacao de 2 grau

luv3
(usa Ubuntu)

Enviado em 22/02/2018 - 11:01h

Bom dia, preciso de ajuda para calcular uma equacao com uma certa precisao.

No problema é pedido que calculemos a seguinte equação: 10^-8x² - 0.8x + 10^-8.

Desenvolvi o seguinte código:

#include <iostream>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>

int main(void)
{
long double a=0.00000001;
long double b=-0.8;
long double c=0.00000001;
long double delta=0;
long double x1=0;
long double x2=0;

delta=(b*b)-4*a*c;


std::cout<<"delta: "<<delta<<std::endl;

x1=(-b-std::sqrt(delta))/2*a;
x2=(-b+std::sqrt(delta))/2*a;

std::cout<<std::setprecision(3)<<x1<<std::endl;

std::cout<<"x2: "<<x2<<std::endl;
}


Mas não consigo chegar nas raizes que foram exigidas: (0.8)10^10 e (1.25)10^-8.


Eu gostaria de saber como trabalhar com melhor precisão.

omag0
(usa Debian)

Enviado em 22/02/2018 - 13:23h

Pelo visto ta usando C né?
Qual o erro?

paulo1205
(usa Ubuntu)

Enviado em 22/02/2018 - 14:06h

Se você reconstituir a equação a partir das raízes desejadas, vai obter a equação x²-8.0000000000000000125·10^9·x+100, que não corresponde exatamente à equação original, nem mesmo multiplicando toda a equação por 10^(-8).



Aumentar a precisão só das variáveis envolvidas no cálculo não vai ajudar pois, como se pode ver, aquelas raízes não são soluções exatas daquela equação.

O problema é que a notação de ponto flutuante com precisão finita não permite trabalhar ao mesmo tempo com números muito grandes e muito pequenos, pois o que é pequeno acaba sendo desprezado perto daquilo que é grande, por falta de bits suficientes para representá-los.

Aquele número que aparece na equação reconstituída a partir das raízes desejadas talvez já não possa mais ser representado como long double numa arquitetura que use 64 bits para a mantissa (N.B. no Linux é assim por padrão; no Windows com Visual Studio, o padrão é long double ser igual a double, com uma mantissa de apenas 52 bits, e você é obrigado a solicitar explicitamente que long double use maior precisão), pois esses 64 bits dão uma precisão decimal de 19.2 dígitos, e o valor de b já tem vinte dígitos (se eu não contei errado). Quando, então, você fizesse b*b para calcular o valor de delta, seriam necessários 40 ou 41 dígitos para calcular o valor exato, que o long double não tem, e você iria perder precisão, e essa perda ficaria ainda mais grave após subtrair 400 (da parte -4*a*c), e novamente não iria conseguir calcular com precisão as raízes.

Para conseguir fazer essas contas com a precisão que você quer, você teria de usar uma biblioteca ou sistema de computação com precisão arbitrária, em lugar dos tipos nativos com precisão limitada e fixa.

luv3
(usa Ubuntu)

Enviado em 22/02/2018 - 14:21h

Sim, estou usando c++ no QTCREATOR.

paulo1205, então independente da modificação que eu faça no código não irá solucionar o problema, pois até mesmo a arquitetura influencia no resultado?

luv3
(usa Ubuntu)

Enviado em 22/02/2018 - 14:28h

Uso c++, o problema é que não consigo chegar nas raizes: (0, 8)10^8 e (1, 25)10^-8

lcavalheiro
(usa Slackware)

Enviado em 22/02/2018 - 18:46h

Considerando:

x' + x'' = ( -b / a )

x' * x'' = ( c / a ) 

A gente tem que:

x' * x'' = 10^-8 / 10^-8

x' * x'' = 1

x' = 1 / x'' 

Daí, temos que:

x' + x'' = ( -b / a)

x' + x'' = ( 8 * 10^-1 / 10^-8 )

x' + x'' = 8 / 10^-7

x' + x'' = 8 * 10^7

1 / x'' + x'' = 8 * 10^7

1 + x''^2 = 8 * 10^7 * x''

x''^2 - 8 * 10^7 * x'' + 1 = 0 

Logo,

Δ'' = ( -8 * 10^7 )^2 - 4 * 1 * 1

Δ'' = 6,4 * 10^15 - 4



x'' = ( 8 * 10^7 ± √ ( 6,4 * 10^15 - 4 ) ) / 2 * 1 

Considerando que:

6,4 * 10^15 - 4 ≅ 6,4 * 10^15

e

6,4 * 10^15 = 64 * 10^14 

Temos que

x'' ≅ ( 8 * 10^7 ± √ ( 6,4 * 10^15 ) ) / 2

x'' ≅ ( 8 * 10^7 ±  8 * 10^7 ) / 2

x''¹ ≅ 2 / 2 = 1

x''² ≅ 0 / 2 = 0 

Considerando que

x' = 1 / x'' 

x''² deve ser descartado. Logo

x' ≅ 1 / 1

x' ≅ 1 

O que nem em sonhos muito loucos corresponde às raízes dadas.

LEGENDA (pois descobri agora que o VOL não aceita caracteres unicode)
&#8773; = aproximadamente igual
&#8730; = sinal de radiciação
&#916; = delta

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Dino®
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