Criando o par de chaves:
Para realizar a conexão através das chaves pública/privada primeiro devemos gerá-las no cliente.
Para isto faça o download do PuTTY, Plink e Puttygen e coloque-os em uma pasta de sua preferência.
Para criar as chaves execute o "puttygen.exe" e clique em "Generate", após passar o mouse sobre a área em branco a seguinte janela irá aparecer:
O campo que está em destaque contém a chave pública que deverá ser copiada para o servidor e colada dentro de um arquivo chamado "authorized_keys". Este arquivo deve ser criado dentro do diretório "C:\OpenSSH\home\nomedousuario\.ssh" no servidor.
Agora salve a chave privada no cliente clicando em "Save private key", quando perguntando sobre a "passphrase" escolha "yes", de um nome ao seu arquivo por exemplo "id_rsa.ppk".
Configurando o cliente PuTTY e Plink
Para fazer a conexão SSH o Plink pode utilizar as informações de uma sessão previamente salva no PuTTY, é esta sessão que iremos criar.
Execute o PuTTY, coloque o endereço (IP ou nome) do servidor no campo "Host Name", selecione o protocolo "SSH", coloque um nome para a sessão (sem acento e sem espaços para facilitar) por exemplo "Servidor" e clique em "Save". Pronto, uma sessão chamada "Servidor" foi criada (Figura 1).

(Figura 1)
Selecione a sessão "Servidor" e clique em "Load", no menu da esquerda clique na opção "Data" e coloque o nome do usuário que será utilizado na conexão no campo "Auto-login username", por exemplo "root" (Figura 2).

(Figura 2)
Ainda no menu da esquerda, clique na opção "Auth" depois no botão "Browse" e localize e selecione o arquivo de chave privada que criamos anteriormente (Figura 3).

(Figura 3)
No menu da esquerda selecione a opção "Session", repare que estamos com a sessão "Servidor" ainda carregada, portanto as alterações realizadas anteriormente devem ser salvas nesta sessão, para isto clique em "Save".
Com a sessão "Servidor" selecionada, clique no botão "Open" para iniciar uma conexão, como (provavelmente) é a primeira conexão, o PuTTY irá perguntar se deseja registrar uma chave do servidor no cache do PuTTY (Figura 4), clique em "Sim", isto só acontece na primeira conexão.

(Figura 4)
Se tudo correu bem até aqui você terá conectado no servidor sem ter digitado nenhuma senha.
Para executar comandos remotamente utilize o Plink da seguinte forma:
plink Servidor "cmd /c dir"
Onde "Servidor" é o nome da sessão previamente configurada e "cmd /c dir" é o comando a ser executado no servidor.