Continuando os artigos anteriores, estaremos entrando na parte de Quantificadores. Se não os viu, pode vê-los em:

• Introdução à Lógica para Computação
• Lógica para Computação - Parte II
• Lógica para Computação - Parte III
• Lógica para Computação - Parte-IV

Os Quantificadores têm por definição, abranger a verdade de um determinado conjunto, e basicamente são: Universal e Existencial.

Quantificador Universal

Seja 'p(x)' uma sentença aberta em um conjunto não vazio de elementos 'A(≠ø)' e seja 'vp' seu conjunto verdade, logo define-se como:

vp={x/x Є A ^ p(x)}

Quando 'vp=A', isto é, todos os elementos do conjunto satisfazem a sentença aberta 'p(x)', podemos então afirmar que para todo elemento 'x Є A, p(x)' é verdadeira, e também qualquer que seja o elemento 'x de A, p(x)' é verdadeira.

Importa notar que 'p(x)' simplesmente é uma sentença aberta e por conseguinte carece de valor lógico 'V' ou 'F'. Mas a sentença aberta 'p(x)' com o símbolo 'V' antes dela, '(Vx Є A)(p(x))' torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor lógico que é verdade '(V)' se 'vp=A' e falsidade se 'vp≠A'.

Em outros termos, dada uma sentença aberta 'p(x)' em um conjunto A, o símbolo 'Ц', referido à variável 'x', representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta 'p(x)' numa proposição verdadeira ou falsa. Dá-se o nome de quantificador universal se 'vp=A' (o símbolo é um 'A' invertido).

Quando em particular, 'A' seja um conjunto finito com 'n' elementos 'A={a1..an}', a proposição '(Ц Є A)p(x)' é equivalente a conjunção das proposições, ou seja:

(Цx Є A)p(x) <=> (p(a1)^p(a2)^p(a3)^p(an))

- Exemplo:

Dado o conjunto 'A={5,7,11,19}, (Цx Є A)p(x)', temos:

(Цx Є A) <=> (5 é primo e 7 é primo e 11 é primo e 19 é primo).

Logo, o quantificador universal é o próprio conjunto 'A'.

- Outro exemplo:

Dado o conjunto dos naturais positivos com exceção do zero, tem-se:

(Цx Є N)(2x>x) => É quantificador universal
(Цy Є N)(2y>=y) => É quantificador universal
(Цx Є N)(2x² +x = 3) => Não é quantificador universal
(Цx Є N)(x+4<3) => É quantificador

Quantificador Existencial

Seja 'p(x)' uma sentença aberta em um conjunto não vazio 'A(A≠ø)', e seja 'vp' o seu conjunto verdade:

vp={x/x Є A ^ p(x)}

Quando 'vp≠ø', então, um elemento pelo menos do conjunto 'A', deve satisfazer a sentença aberta, e logo, podemos afirmar que deve existir uma ou mais soluções possíveis para o conjunto, e que, para algum 'x Є A, p(x)' é verdadeira.

Nota-se que sendo uma sentença aberta, a mesma carece de valor lógico 'V' ou 'F', mas a sentença aberta 'p(x)' com o símbolo 'Э' antes dela (o símbolo é um 'E' invertido) antes dela, isto é, '(Эx Є A)p(x)', torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor lógico que é verdade se 'vp≠ø' e falsidade de 'vp=ø'.

Deste modo, dada uma sentença 'aberta p(x)' em um conjunto 'A', o símbolo 'Э', referindo à variável 'x', representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta 'p(x)' num proposição verdadeira ou falsa.

Quando em particular, A seja um conjunto finito de elementos: a1, a2, a3, ... an, é óbvio que a proposição '(Эx Є A)p(x)' é equivalente à disjunção das proposições: p(a1), p(a2), p(a3)...p(an), ou seja:

(Эx Є A)p(x) <=> (p(a1) v p(a2) v p(a3) v p(an))

- Exemplo:

Verificar se existe o quantificador existencial nos números naturais:

(Эx Є A)(x+4) => É quantificador existencial

- Outro exemplo:

(Эx Є A)(x+4>8) => É quantificador existencial
(Эn Є A)(n+5<3) => Não é quantificador existencial